🎓 Leçon 1.3 — Distribution de Poisson
📌 Objectifs
- Comprendre la nature de la loi de Poisson
- Savoir quand l’utiliser
- Savoir calculer une probabilité avec cette loi
1. 🔍 Définition
La distribution de Poisson modélise le nombre d’événements rares se produisant dans un intervalle fixe (temps, surface, distance…), à un taux constant.
Exemple :
Nombre de clients arrivant à une caisse en 10 minutes.
Nombre de clients arrivant à une caisse en 10 minutes.
2. 📌 Conditions d’application
On utilise la loi de Poisson si :
- Les événements sont indépendant
- Ils se produisent aléatoirement, sans regroupement
- Le taux moyen λ (lambda) est constant
3. 📐 Notation
Si la variable aléatoire X suit une loi de Poisson, on écrit :
X ∼ P(λ)
λ : nombre moyen d’occurrences dans l’intervalle
4. 🧮 Formule de probabilité
P(X = k) = (e−λ × λk) / k!
k : nombre d’occurrences exactes recherchées
e : constante ≈ 2,718
k! : factorielle de k
Exemple :
λ = 4 (en moyenne 4 clients en 10 min)
Probabilité qu’il en arrive exactement 2 :
λ = 4 (en moyenne 4 clients en 10 min)
Probabilité qu’il en arrive exactement 2 :
P(X = 2) = (e−4 × 4²) / 2! = e−4 × 16 / 2 ≈ 0,1465
5. ✅ À retenir
- Utilisée pour compter des événements rares ou aléatoires
- La moyenne et la variance sont toutes deux égales à λ
- S’applique souvent à des événements dans le temps ou l’espace