Distribution exponentielle

🎓 Leçon 1.5 — Distribution exponentielle 📌 Objectifs Comprendre la distribution exponentielle...

🎓 Leçon 1.5 — Distribution exponentielle

📌 Objectifs

  • Comprendre la distribution exponentielle
  • Savoir quand l’utiliser
  • Savoir calculer une probabilitĂ© associĂ©e

1. 🔍 DĂ©finition

La distribution exponentielle modĂ©lise le temps d’attente entre deux Ă©vĂ©nements successifs dans un processus alĂ©atoire et continu, Ă  un taux constant.

Exemples :
Temps avant l’arrivĂ©e d’un bus, dĂ©lai avant une panne.

2. 📐 Notation

X ∌ Exp(λ)

λ (lambda) : taux d’occurrence par unitĂ© de temps
➀ Plus λ est grand, plus les Ă©vĂ©nements sont frĂ©quents.

3. 🧼 Fonction de densitĂ©

f(x) = λe−λx, pour x ≄ 0

➀ DensitĂ© dĂ©croissante : forte probabilitĂ© pour les petits temps d’attente.

4. 📊 Fonction de probabilitĂ© cumulĂ©e

P(X ≀ t) = 1 − e−λt
Exemple :
Si λ = 0,2, quelle est la probabilitĂ© que l’attente soit infĂ©rieure Ă  5 minutes ?
P(X ≀ 5) = 1 − e−0,2 × 5 = 1 − e−1 ≈ 0,632

5. ✅ À retenir

  • La distribution exponentielle est continue, asymĂ©trique et dĂ©croissante
  • Elle modĂ©lise des temps d’attente ou des durĂ©es de vie
  • Sa moyenne est 1 / λ et sa variance est 1 / λÂČ